Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)：同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB﹣BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CB上的速度為每秒2個(gè)單位長度，在BA上的速度為每秒 個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．以CP、CQ為鄰邊作CPMQ，設(shè)CPMQ與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）．

（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，求x的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在P、Q兩點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形時(shí)，求x的取值范圍．
（4）以B、C、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫出CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，如圖1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，

∴∠A=∠B=45°，

∵四邊形CPMQ是平行四邊形，

∴CP∥MQ，CP=MQ=x，

∴∠BQM=∠C=90°，

∴∠QMB=∠B=45°，

∴BQ=MQ，

∴4﹣2x=x，

∴x= ；

（2）

解：①當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，如圖2，CPMQ與△ABC重疊部分圖形是

CPMQ，

∵CQ= x，PC=x，

∴y=SCPMQ=2xx=2x2，

②當(dāng) ＜x≤2時(shí)，如圖3，

由題意有，CQ=2x，QM=PC=x，∠B=45°，∠M=90°，

∴QN=BQ=4﹣2x，

∵BN= BQ= （4﹣2x）=4 ﹣2 x，

∵QM=x，

∴MN=QM﹣QN=3x﹣4，

∴S△MNH= MN2= （3x﹣4）2，

∴y=S矩形QCPM﹣S△MNH

=2x2﹣ （9x2﹣24x+16）

=﹣ x2+12x﹣8，

（3）

解：①當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，如圖1，2，重疊部分是四邊形，

②當(dāng) ＜x＜2時(shí)，如圖3，重疊部分是五邊形，

③當(dāng)2≤x＜4時(shí)，如圖4，重疊部分是四邊形，

④當(dāng)x=4時(shí)，如圖5，重疊部分是三角形，

∴當(dāng) ＜x＜2時(shí)和x=4時(shí)，當(dāng)CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形；

（4）

解：①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，

i）當(dāng)MC=MB時(shí)，如圖6，

∵M(jìn)Q⊥AB，

<>∴CQ=BQ，

∵CQ=2x，BQ=4﹣2x，

∴2x=4﹣2x，

∴x=1；

ii）、當(dāng)CM=CB時(shí)，如圖7，

∴CM=BC=4，

∵M(jìn)Q⊥AB，MQ=x，CQ=2x，

根據(jù)勾股定理得，CM2=CQ2+MQ2

∴16=（2x）2+x2，

∴x= 或x=﹣ （舍），

②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，如圖8，

i）當(dāng)MC=MB時(shí)，MD⊥BC

∴CD=BD，則AQ=BQ

x=4

ii）當(dāng)BC=MB時(shí)，如圖9，延長MQ交BC于D，則MD⊥BC，

MQ=PC=x，BQ= （x﹣2），BM=BC=4，

∴∠ABC=45°，

∴DQ=BD=x﹣2，

在Rt△MDB中，MB2=MD2+BD2，

∴42=（x﹣2）2+（x+x﹣2）2，

x= ，x= （舍），

綜上所述：PC=1或 或 或4．

【解析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間和速度得：CP=x，CQ=2x，因?yàn)樗倪呅蜟PMQ是平行四邊形，得CP=MQ=BQ，代入列式求出x的值；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，如圖2，CPMQ與△ABC重疊部分圖形是CPMQ，利用矩形面積公式代入計(jì)算；②當(dāng) ＜x≤2時(shí)，如圖3，CPMQ與△ABC重疊部分圖形是五邊形CQNHP，利用差求面積；（3）除了了（2）中的情況外，還有③當(dāng)2≤x＜4時(shí)，如圖4，重疊部分是四邊形，④當(dāng)x=4時(shí)，如圖5，重疊部分是三角形，寫出結(jié)論；（4）分為①當(dāng)0＜x≤2和當(dāng)2＜x≤4時(shí)進(jìn)行討論，一共存在四種情況，畫出圖形就可以求出x的值，即PC的長．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分)．