Question

（2004•豐臺(tái)區(qū)）已知：把矩形AOBC放入直角坐標(biāo)系xOy中，使OB、OA分別落在x軸、y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），連接AB，∠OAB=60°，將△ABC沿AB翻折，使C點(diǎn)落在該坐標(biāo)平面內(nèi)的D點(diǎn)處，AD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可分兩種情況：
第一種情況矩形在第一象限．
（1）根據(jù)Rt△ACB≌Rt△ADB，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，∠OAB=60°，∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°，可求DF=AD=3，利用三角函數(shù)可求AF=AD•cos30°=6×=3，則OF=AF-OA=3-2=，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-）；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的直線的解析式為y=-x+2；
第二種情況矩形在第二象限．
（1）由第一種情況，根據(jù)對(duì)稱性得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-）；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
利用待定系數(shù)法可求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的直線的解析式為y=x+2．
解答：解：根據(jù)題意，可分以下兩種情況：
第一種情況矩形在第一象限，如圖．
（1）OA=2，∠AOB=90°，∠OAB=60°，
∴OB=OA•tan60°=2•=6．
又Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴AC=AD=OB=6．
過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，
∠OAB=60°，
∴∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°．
∴DF=AD=3．
AF=AD•cos30°=6×=3，
∴OF=AF-OA=3-2=．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-）．          
                                   （2分）
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
，
解得．
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的直線的解析式為y=-x+2．                             （4分）
第二種情況矩形在第二象限，（圖略）
（1）由第一種情況，根據(jù)對(duì)稱性得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-）．             （5分）
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、D（3，-）的直線的解析式為y=kx+b，
，
解得．
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的直線的解析式為y=x+2．                               （7分）
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和全等三角形的性質(zhì)來(lái)表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求解析式．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．