Question

已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度數；
（2）求證：AC²=AD•CE；
（3）求

BC

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．等邊對等角及平行線的性質可求∠D的度數；
（2）乘積的形式通�？梢赞D化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．
（3）延長BO交DA的延長線于F，連接OA．通過證明△BOC∽△BFD得出

BC

CD

的值．

解答：（1）解：如圖，連接OB（1分）
∵⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）證明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴

AC

DA

=

CE

AC

∴AC²=AD•CE（5分）

（3）解：方法一：如圖，延長BO交DA的延長線于F，連接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=

1

2

OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴

BC

BD

=

BO

BF

∴

BC

CD

=

BO

OF

=

OA

OF

=2，即

BC

CD

的值為2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，設⊙O的半徑為r，可得BM=

3

2

r，OM=

r

2

，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=

3

6

r，BE=

2 3

3

r，AE=

3

3

r，所以

BC

CD

=

BE

EA

=2

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，同時考查了圓周角定理和平行線的性質，綜合性較強，難度較大．