Question

如圖，已知直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，將△OAB繞坐標原點O順時針旋轉90°得到△OCD．拋物線y=ax²+bx+c經過A、C、D三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若將該拋物線向下平移m（m＞0）個單位長度，使得頂點落在△OAB內部（不包含△OAB的各條邊）時，求m的取值范圍；
（3）設直線AB與該拋物線的另一個交點為Q，若在x軸上方的拋物線上存在相異的兩點P₁、P₂，使△P₁AQ與△P₂AQ 的面積相等，且等于t，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在中，令x=0，解得y=2，則OB=OD=2；
令y=0，得：x+2=0，解得：x=-4，則OA=OC=4，故A的坐標是（-4，0），B的坐標是（0，2），C的坐標是：（0，4），D的坐標是：（2，0）．
設拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，根據題意得：，
解得：．
則拋物線的解析式是：y=-x²-x+4．

（2）拋物線的對稱軸是：x=-=-1．
把x=-1代入拋物線的解析式得：y=-+1+4=，則頂點坐標是：（-1，）．
在y=x+2中，令x=-1，解得：y=．
則-=3，因而m的范圍是：3＜m＜．

（3）作EF∥AQ，使EF與拋物線只有一個公共點．
設EF的解析式是y=x+a，
把y=x+a代入拋物線的解析式得：x+a=-x²-x+4，
即-x²-x+4-a=0，
即：x²+3x+2a-8=0，
△=9-4（2a-8）=9-8a+32=41-8a=0，
解得：a=．
則EF的解析式是：y=x+．
直線y=x+2與y=x+之間與y軸的交點之間的距離是：．
則t的范圍是：≤t＜．
分析：（1）首先求得直線與x，y軸的交點坐標，即可求得OA，OB的長，則A，B，C，D的坐標即可求得，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）首先求得拋物線的頂點坐標，以及拋物線與直線y=x+2的交點坐標，據此即可求得m的范圍；
（3）△P₁AQ與△P₂AQ 的面積相等，則t的最大值一定是拋物線在直線y=x+2的上面的部分到直線的距離的最大值，到直線y=x+2的距離最大的點，一定與直線平行且與拋物線只有一個公共點，可以設出直線的解析式，直線與拋物線組成的方程組只有一個解，利用判別式即可求解．兩直線之間的距離就是最大值．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．