Question

已知：如圖，⊙A與⊙B外切于點(diǎn)P，BC切⊙A于點(diǎn)C，⊙A與⊙B的內(nèi)公切線PD交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)M．
（1）求證：CD=PB；
（2）如果DN∥BC，求證：DN是⊙B的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC切⊙A于點(diǎn)C，DP切⊙A于點(diǎn)P可以得到∠DCM=∠BPM=90°，根據(jù)切線長定理得到MC=MP，然后利用已知條件可以證明DCM≌△BPM，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥DN，垂足為點(diǎn)H，由HD∥BC，BC⊥CD可以得到HD⊥CD，接著得到∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°，進(jìn)一步得到四邊形BCDH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BH=CD，而CD=PB，由此得到BH=PB，最后根據(jù)切線的判定定理即可求解．
解答：（1）證明：∵BC切⊙A于點(diǎn)C，DP切⊙A于點(diǎn)P，
∴∠DCM=∠BPM=90°，MC=MP．（3分）
∵∠DMC=∠BMP，
∴△DCM≌△BPM．（1分）
∴CD=PB．（1分）

（2）證明：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥DN，垂足為點(diǎn)H．（1分）
∵HD∥BC，BC⊥CD，∴HD⊥CD．（1分）
∴∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°．（1分）
∴四邊形BCDH是矩形．（1分）
∴BH=CD．（1分）
∵CD=PB，
∴BH=PB．（1分）
∴DN是⊙B的切線．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時(shí)首先利用切線的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造切線的判定的條件即可解決問題．