Question

如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，過C作CE∥AD交AB于E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若點E是AB的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據(jù)平行四邊形的定義證得四邊形AECD是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACE＝∠CAD，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得AE＝CE，從而證得結(jié)論；（2）△ABC是直角三角形

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的定義證得四邊形AECD是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACE＝∠CAD，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得AE＝CE，從而證得結(jié)論；（2）由AE＝CE，AE＝BE可得BE＝CE，即可得到∠B＝∠BCE，由∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º可得2∠BCE＋2∠ACE＝180º，即可得到結(jié)果.

（1）∵AB∥CD， CE∥AD，

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∵CE∥AD，

∴∠ACE＝∠CAD．     

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAE＝∠CAD．

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE．

∴四邊形AECD是菱形；

（2）∵AE＝CE，AE＝BE，

∴BE＝CE，

∴∠B＝∠BCE，   

∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º，

∴2∠BCE＋2∠ACE＝180º，

∴∠BCE＋∠ACE＝90º，即∠ACB＝90º．  

∴△ABC是直角三角形．      

考點：平行四邊形、菱形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的判定

點評：解題的關(guān)鍵是熟記兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.