Question

數(shù)學(xué)課上，張老師給出了問(wèn)題：
如圖（1），△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=BD成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：由△ABP≌△BCD，從而得出AP=BD．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步探究：
（1）小穎提出：如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D，P在射線CA和射線BC上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠BQP的大小保持不變．請(qǐng)你利用圖（2）的情形，求證：∠BQP=60°；
（2）小華提出：如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE始終等于PE．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
∵，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（2）小華的觀點(diǎn)正確．
過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，
∴△DCG為等邊三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
∵，
∴△DGE≌△PBE（ASA），
∴DE=EP．
分析：（1）根據(jù)提示的思路，證明△ABP和△BCD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得∠APB=∠BDC，因?yàn)椤螦PB-∠PAC=∠ACB=60°，所以∠BDC+∠DAQ=60°；
（2）過(guò)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證明DG=CD=BP，然后證明△DGE和△PBE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；題目屬于信息給予題，讀懂題目提供的信息，根據(jù)所提供的思路尋找條件是完成題目證明的關(guān)鍵，也是解答題目的捷徑和最簡(jiǎn)潔的思路，主要運(yùn)用三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)．