Question

（2012•南安市質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OEFG為正方形，點F的坐標(biāo)為（1，1）．將一個最短邊長大于

2

的直角三角形紙片的直角頂點放在對角線FO上．
（1）如圖，當(dāng)三角形紙片的直角頂點與點F重合，一條直角邊落在直線FO上時，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為

1

2

；
（2）若三角形紙片的直角頂點不與點O、F重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交，當(dāng)這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時，該三角形紙片直角頂點的坐標(biāo)是

（

2

2

，

2

2

）或（1-

2

2

，1-

2

2

）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形知，陰影部分的面積是Rt△OFE的面積；
（2）如圖，正方形GFEO的面積為1，當(dāng)重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時，有兩種情況：
①四邊形OSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDO為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形OSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有OD=OA=

2

2

即點C的坐標(biāo)為(

2

2

，

2

2

)）．
②四邊形FSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDF為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形FSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有FD=FA=

2

2

即點C的坐標(biāo)為（1-

2

2

，1-

2

2

）．

解答：解：（1）S=

1

2

OE•EF=

1

2

；
故答案是：

1

2

；

（2）正方形GFEO的面積為1，當(dāng)重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時，有兩種情況：
①如圖1，四邊形OSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDO為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形OSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有OD=OA=

2

2

即點C的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

2

）．
②如圖2，四邊形FSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDF為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形FSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有FD=FA=

2

2

即點C的坐標(biāo)為(

2- 2

2

，

2- 2

2

)；
綜上所述，直角頂點的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

2

）或（1-

2

2

，1-

2

2

）．
故答案是：（

2

2

，

2

2

）或（1-

2

2

，1-

2

2

）．

點評：本題考查了相似綜合題．此題涉及到的知識點有全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)三角形的面積公式等．