Question

如圖，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6；在△ABC中：∠C＝90^O，　　 ∠A＝30⁰，AB＝4；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90^O ,DG＝6，DE＝4，　 ∠EDG＝60⁰。解答下列問題：

（1）旋轉(zhuǎn)：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90⁰，請(qǐng)你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形

△A₁B₁C，并求出AB₁的長(zhǎng)度；

（2）翻折：將△A₁B₁C沿過點(diǎn)B₁且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對(duì)應(yīng)圖形

△A₂B₁C₁，試判定四邊形A₂B₁DE的形狀？并說明理由；

（3）平移：將△A₂B₁C₁沿直線向右平移至△A₃B₂C₂，若設(shè)平移的距離為ｘ，△A₃B₂C₂與直角梯形重疊部分的面積為ｙ，當(dāng)ｙ等于△ABC面積的一半時(shí),ｘ的值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，

∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.

(2)四邊形A₂B₁DE為平行四邊形.理由如下：

∵∠EDG＝60°，∠A₂B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60°，∴A₂B₁∥DE

又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，∴A₂B₁＝DE,故結(jié)論成立.

（3）由題意可知：

 S_△ABC=，

①     當(dāng)或時(shí)，ｙ＝0

此時(shí)重疊部分的面積不會(huì)等于△ABC的面積的一半

②當(dāng)時(shí)，直角邊B₂C₂與等腰梯形的下底邊DG重疊的長(zhǎng)度為DC₂=C₁C₂-DC₁=（ｘ－2），則ｙ＝,

   當(dāng)ｙ= S_△ABC= 時(shí)，即 ，

解得（舍）或.

∴當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.

③當(dāng)時(shí)，△A₃B₂C₂完全與等腰梯形重疊，即

④當(dāng)時(shí),B₂G=B₂C₂-GC₂=2－(－8)=10-

則ｙ＝,

當(dāng)ｙ= S_△ABC= 時(shí)，即 ，

解得,或(舍去).

∴當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.

由以上討論知,當(dāng)或時(shí), 重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.