在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3,0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點.
(1)求直線BC解析式y(tǒng)2及拋物線的解析式;
(2)求x滿足什么條件時,y1<y2;
(3)點Q在y軸上,點P在拋物線上,要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點P的坐標(biāo).
【答案】
分析:(1)依題意設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,把B點坐標(biāo)代入解析式求出直線BC的表達(dá)式,然后又已知拋物線y=x
2+bx+c過點B,C,代入求出解析式.
(2)畫出圖象,找到y(tǒng)
1在y
2下面時,x的取值范圍即可,也可聯(lián)立y
1、y
2的解析式,運用不等式求解.
(3)分兩種情況討論,①當(dāng)PQ∥AB時,此時根據(jù)PQ=AB=2,可得出點P的橫坐標(biāo),代入即可得出點P的坐標(biāo);②②當(dāng)P、Q為對角頂點時,作PD⊥x軸于D點,此時根據(jù)AD=OB可求出點P的橫坐標(biāo)為4,繼而代入可得出點P的縱坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意得:直線BC為y
2=kx+3,把B(3,0)代入得:3k+3=0,
解得:k=-1,
故直線BC的解析式為y=-x+3,
從而可得點C坐標(biāo)為(0,3),
把B、C兩點代入y
1=x
2+bx+c得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202146708158518/SYS201311032021467081585022_DA/0.png)
,
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202146708158518/SYS201311032021467081585022_DA/1.png)
,
故拋物線的解析式為y
1=x
2-4x+3.
(2)由圖可知:當(dāng)0<x<3時,y
1<y
2.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202146708158518/SYS201311032021467081585022_DA/images2.png)
(3)①當(dāng)PQ∥AB時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202146708158518/SYS201311032021467081585022_DA/images3.png)
則PQ=AB=2,
從而可得點P的橫坐標(biāo)為2或-2,
當(dāng)x=2時,y=-1;
當(dāng)x=-2時,y=15,
故P
1為(2,-1),P
2為(-2,15),
②當(dāng)P、Q為對角頂點時,作PD⊥x軸于D點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103202146708158518/SYS201311032021467081585022_DA/images4.png)
則有OB=BQ×cos∠QBO,AD=APcos∠PAD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AP=BQ,∠QBO=∠PAD,
∴AD=OB=3,
則可得點P的橫坐標(biāo)為4,當(dāng)x=4時,y=3,
所以P
3為(4,3).
綜上可得符合題意的點P的坐標(biāo)有三個:P
1(2,-1),P
2(-2,15),P
3(4,3).
點評:此題考查了二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì),難點在第三問,需要分類討論,不要漏解.