Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y₁=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過B、C兩點．
（1）求直線BC解析式y(tǒng)₂及拋物線的解析式；
（2）求x滿足什么條件時，y₁＜y₂；
（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設直線BC的解析式為y=kx+3，把B點坐標代入解析式求出直線BC的表達式，然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點B，C，代入求出解析式．
（2）畫出圖象，找到y(tǒng)₁在y₂下面時，x的取值范圍即可，也可聯立y₁、y₂的解析式，運用不等式求解．
（3）分兩種情況討論，①當PQ∥AB時，此時根據PQ=AB=2，可得出點P的橫坐標，代入即可得出點P的坐標；②②當P、Q為對角頂點時，作PD⊥x軸于D點，此時根據AD=OB可求出點P的橫坐標為4，繼而代入可得出點P的縱坐標．
解答：解：（1）由題意得：直線BC為y₂=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，
解得：k=-1，
故直線BC的解析式為y=-x+3，
從而可得點C坐標為（0，3），
把B、C兩點代入y₁=x²+bx+c得，
解得：，
故拋物線的解析式為y₁=x²-4x+3．
（2）由圖可知：當0＜x＜3時，y₁＜y₂．

（3）①當PQ∥AB時，

則PQ=AB=2，
從而可得點P的橫坐標為2或-2，
當x=2時，y=-1；
當x=-2時，y=15，
故P₁為（2，-1），P₂為（-2，15），
②當P、Q為對角頂點時，作PD⊥x軸于D點，

則有OB=BQ×cos∠QBO，AD=APcos∠PAD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP=BQ，∠QBO=∠PAD，
∴AD=OB=3，
則可得點P的橫坐標為4，當x=4時，y=3，
所以P₃為（4，3）．
綜上可得符合題意的點P的坐標有三個：P₁（2，-1），P₂（-2，15），P₃（4，3）．
點評：此題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、平行四邊形的判定與性質，難點在第三問，需要分類討論，不要漏解．