![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d67a89c6572.png)
(1)證明:∵AB∥DC,
∴∠CPB=∠PCD,
∵∠ADP=∠PCD,
∴∠ADP=∠CPB,
∵AD=2PD,PC=2PB,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/515654.png)
,
∴△ADP∽△CPB,
∴∠APD=∠B,
∴PD∥BC;
(2)解:∵AB∥DC,PD∥BC,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d67a89efabc.png)
∴四邊形PBCD是平行四邊形,
∴PD=BC,
∵PD=PC=4,
∴BC=4,
∵PC=2PB,
∴PB=2,
∵OD∥BC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/515655.png)
,
∵PQ=x,DO=y,
∴PO=y-4,QB=2-x,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/515656.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/515657.png)
,
定義域是:0<x<2;
(3)解:①當PM=PN時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d67a8a275a6.png)
∵PM∥DC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/515658.png)
,
∴DC=DN;
由(2)知:PD=4,DC=2,
∴PM=PN=PD-DN=2,
②當MP=MN時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d67a8a54ae9.png)
∵△ADP∽△CPB,PC=BC=4,
易得:AP=AD=2PD=8,
易證:MN∥AD,
即:四邊形AMCD是平行四邊形,
∴DC=AM=2,
∴PM=AP-AM=6.
(注:當NM=NP時不存在)
綜上所述:PM的值為2或6.
分析:(1)由AB∥DC與AD=2PD,PC=2PB,根據由兩邊對應邊成比例,且夾角相等,易得△ADP∽△CPB,即可得到∠APD=∠B,則得到PD∥BC;
(2)易得四邊形PBCD是平行四邊形,則可得PB的長,又由OD∥BC,根據平行線分線段成比例定理,利用方程思想,即可求得y與x的函數關系式;
(3)分別從①當PM=PN時,②當MP=MN時分析,由相似三角形的性質,即可求得結果.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質,以及平行四邊形的判定與性質等.此題圖形變化比較多,要注意數形結合思想的應用.此題難度較大,解題時需仔細分析.