Question

如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；

②連接MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；

③過(guò)C作CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．

(1)求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)當(dāng)∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周長(zhǎng)為18時(shí)，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD＝∠COE＝90°，進(jìn)而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形； 　　(2)利用當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的長(zhǎng)即可得出四邊形ADCE的面積． 　　解答：(1)證明：由題意可知： 　　∵直線DE是線段AC的垂直平分線， 　　∴AC⊥DE，即∠AOD＝∠COE＝90°； 　　且AD＝CD、AO＝CO， 　　又∵CE∥AB， 　　∴∠1＝∠2， 　　∴△AOD≌△COE， 　　∴OD＝OE， 　　∴四邊形ADCE是菱形； 　　(2)解：當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)， 　　OD∥BC，即有△ADO∽△ABC， 　　∴， 　　又∵BC＝6， 　　∴OD＝3， 　　又∵△ADC的周長(zhǎng)為18， 　　∴AD＋AO＝9， 　　即AD＝9－AO， 　　∴OD＝＝3， 　　可得AO＝4， 　　∴DE＝6，AC＝8， 　　∴S＝AC·DE＝×8×6＝24． 　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定以及對(duì)角線垂直的四邊形面積求法，根據(jù)已知得出△ADO∽△ABC進(jìn)而求出AO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：作圖－復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．