Question

如圖所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中點(diǎn)，⊙O與AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是⊙O與AB的一個(gè)交點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，由AC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，又O為AB的中點(diǎn)，從而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO與BO的長(zhǎng)，再由OB-OF求出FB的長(zhǎng)，同時(shí)由OD和GC都與AC垂直，得到OD與GC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再加上對(duì)頂角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的長(zhǎng)代入即可求出GB的長(zhǎng)．
解答：解：連接OD．
∵AC為圓O的切線，∴OD⊥AC，
又∵AC=BC=4，∠C=90°，∴∠A=45°，
根據(jù)勾股定理得：AB==4，
又∵O為AB的中點(diǎn)，∴AO=BO=AB=2，
∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2×=2，
∴BF=OB-OF=2-2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∵∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴=，即=，
∴BG=2-2．
故答案為：2-2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．在運(yùn)用切線的性質(zhì)時(shí)，若已知切點(diǎn)，連接切點(diǎn)和圓心，得垂直；若不知切點(diǎn)，則過(guò)圓心向切線作垂直，即“知切點(diǎn)連半徑，無(wú)切點(diǎn)作垂直”．圓與相似三角形，及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線有關(guān)的性質(zhì)與判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點(diǎn)，故要求學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融匯貫穿，靈活運(yùn)用．