Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，雙曲線的解析式為y=

k

x

（1）求出線段AB的長；
（2）在雙曲線第四象限的分支上存在一點(diǎn)C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求k的值；
（3）在（1）（2）的條件下，連接AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過D作AC的垂線EF，交AC于E，交直線AB于F，連AD，若點(diǎn)P為射線AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF²-PC²的值是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)求出其范圍；若不變，請(qǐng)證明并求出定值．

Answer 1

分析：（1）首先求出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出AO，OB的長，即可利用勾股定理求出AB的長；
（2）首先作CD⊥y軸于點(diǎn)D，求出∠BAO=∠CBD，再利用△ABO≌△BDC，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出k的值；
（3）首先連接FC交AP于M，利用△ABD≌△CBF（SAS），得出∠BAD=∠DCM，進(jìn)而利用勾股定理求出PF ²-PC²=DF²-CD²，求出即可．

解答：解：（1）由y=

3

4

x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，
得：x=0時(shí)，y=6，y=0時(shí)，x=-8，
故A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，OB=6，
∴AB=

62+82

=10；

（2）作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∠CBO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BDC中，

∠BOA=∠BDC OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=6，BD=OA=8，
∴OD=BD-OB=8-6=2，
∴C（6，-2），
∴k=6×（-2）=-12；

（3）連接FC交AP于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠BDF=∠EDC=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠BDF=45°，
∴BD=BF，
∵在△ABD和△CBF中，

BF=BD ∠CBF=∠ABD BC=BA

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠DCM，
∴∠DMC=∠ABD=90°，
∴PF ²-PC²=（FM²+MP²）-（CM²+MP²）
=FM²-CM²
=（DF²-DM²）-（CD²-DM²）
=DF²-CD²，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=5，
∴BF=5，
∴DF=

52+52

=5

2

，
∴PF ²-PC²=（5

2

）²-5²=25．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABD≌△CBF是解題關(guān)鍵．