(2013•福州)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC邊上一點(diǎn),△PAD的面積為
12
,設(shè)AB=x,AD=y
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若∠APD=45°,當(dāng)y=1時(shí),求PB•PC的值;
(3)若∠APD=90°,求y的最小值.
分析:(1)如圖1,過A作AE垂直于BC,在直角三角形ABE中,由∠B=45°,AB=x,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AE,三角形PAD的面積以AD為底,AE為高,利用三角形面積公式表示出,根據(jù)已知的面積即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)∠APC=∠APD+∠CPD,以及∠APC為三角形ABP的外角,利用外角性質(zhì)得到關(guān)系式,等量代換得到∠BAP=∠CPD,再由四邊形ABCD為等腰梯形,得到一對(duì)底角相等及AB=CD,可得出三角形ABP與三角形PDC相似,由相似得比例,將CD換為AB,由y的值求出x的值,即為AB的值,即可求出PB•PC的值;
(3)取AD的中點(diǎn)F,過P作PH垂直于AD,由直角三角形PF大于等于PH,當(dāng)PF=PH時(shí),PF最小,此時(shí)F與H重合,由三角形APD為直角三角形,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半,表示出PF即為PH,三角形APD面積以AD為底,PH為高,利用三角形面積公式表示出三角形APD面積,由已知的面積求出y的值,即為最小值.
解答:解:(1)如圖1,過A作AE⊥BC于點(diǎn)E,
在Rt△ABE中,∠B=45°,AB=x,
∴AE=AB•sinB=
2
2
x,
∵S△APD=
1
2
AD•AE=
1
2
,
1
2
•y•
2
2
x=
1
2
,
則y=
2
x
;

(2)∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,∠APD=∠B=45°,
∴∠BAP=∠CPD,
∵四邊形ABCD為等腰梯形,
∴∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
AB
PC
=
PB
DC
,
∴PB•PC=AB•DC=AB2,
當(dāng)y=1時(shí),x=
2
,即AB=
2
,
則PB•PC=(
2
2=2;

(3)如圖2,取AD的中點(diǎn)F,連接PF,
過P作PH⊥AD,可得PF≥PH,
當(dāng)PF=PH時(shí),PF有最小值,
∵∠APD=90°,
∴PF=
1
2
AD=
1
2
y,
∴PH=
1
2
y,
∵S△APD=
1
2
•AD•PH=
1
2
,
1
2
•y•
1
2
y=
1
2
,即y2=2,
∵y>0,∴y=
2
,
則y的最小值為
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似形綜合題,涉及的知識(shí)有:等腰梯形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),以及三角形的面積求法,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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3

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(2)求
BN
的長.

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2
3
2
3

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(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是
2
2
個(gè)單位長度;△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱,則對(duì)稱軸是
y軸
y軸
;△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB,則旋轉(zhuǎn)角度可以是
120
120
度;
(2)連結(jié)AD,交OC于點(diǎn)E,求∠AEO的度數(shù).

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