Question

如圖，已知拋物線C：y=-x²+x+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線l：y=x-2（a≠0）交x軸于點(diǎn)Q．
（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A（______）、B（______）及點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q（______）（用含a的代數(shù)式表示）；并依點(diǎn)Q坐標(biāo)的變化確定：當(dāng)______時(shí)（填上a的取值范圍），直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)；
（3）設(shè)直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠APB=90°？若存在，求出此時(shí)a的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由消去y，得x²-（-1）x-10=0
∵△=（-1）²+40＞0
∴不論a（a≠0）取何實(shí)數(shù)，方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，
故不論a（a≠0）取何實(shí)數(shù)，
拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每點(diǎn)坐標(biāo)，共6分）
（寫成a＞0或a＜只能給1分）；

（3）解：一、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，則AN=x₀+2，BN=3-x₀，PN=y₀
∵∠APB=90°，PN⊥AB，則△APN∽△PBN．
∴PN²=AN•BN，
則有y₀²=（x₀+2）（3-x₀）
即y₀²=-x₀²+x₀+6①
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在拋物線C上
∴
即2y₀=-x₀²+x₀+6
由①、②可得y₀²=2y₀（y₀＞0）
∴y₀=2
把y₀=2代入②，得x₀=2或-1，
∴x₀＞0
∴x₀＞2
把x₀=2，y₀=2代入，
得
∴存在滿足條件的P點(diǎn)，此時(shí)．
二、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，N的坐標(biāo)為（x₀，0），連接PM，由Rt△PMN，得MN²+PN²=PM²
∴（x₀-）²+y²=
由
整理，得
③-④得，y₀²=2y₀．
三、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，根據(jù)勾股定理得AP²+PB²=AB²=AN²+NP²+NP²+NB²=25
即（x₀+2）²+y₀²+y₀²+（3-x₀）²=25
整理得x₀²-x₀-6+y₀²=0
解方程組：
得：y₀=0或y₀=2．
所以x=3、-2、，
所以a=（舍去），或a=-1（舍去），a=（負(fù)值舍去）．
分析：（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)，就是求兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組有兩個(gè)解，即利用代入法得到一個(gè)一元二次方程，可以根據(jù)根的判別式得到a的不等式，就可以求a的范圍；
（2）拋物線y=-x²+x+3中令y=0，就可以求出與x軸的交點(diǎn)，得到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．在直線l：y=x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN²=AN•BN，就可以得到關(guān)于AN，BN的方程，再根據(jù)P（x₀，y₀）在函數(shù)的圖象上，就可以得到關(guān)于AN、BN的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就可以求出P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用韋達(dá)定理判斷兩個(gè)二元二次方程組成的解的個(gè)數(shù)．并且利用了相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等．