Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，△ABE和△BCF都是等邊三角形，且點E、F都在矩形外．
（1）求證：△ABF≌△EBF；
（2）求∠AGE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形可得角ABC為90°，由等邊三角形可得邊相等，角相等為60°，進而得到∠ABF=∠EBF，利用SAS得到三角形全等；
（2）由三角形外角的知識可得∠AGE的度數(shù)為∠EFG與∠GEF的和，利用三角形全等，得到角相等，進而得到所求角的度數(shù)為2倍的∠BFA與∠BAF的和，為60°．
解答：（1）證明：∵矩形ABCD，等邊三角形ABE，等邊三角形BCF，
∴∠ABC=∠90°，∠BFC=60°，∠EBA=60°，AB=BE，BF=BC，
∴∠FBE=360°-90°-60°-60°=150°=∠ABC+∠BFC=∠ABF，
∴△ABF≌△EBF；

（2）解：由（1）知：∠EBC=90°+60°=150°=∠EBF，
∴△EBF≌△EBC，
∴∠FEB=∠CEB=∠BAF，
△ABF中，∠BFA+∠BAF
=180°-150°=30°，
∴∠AGE=∠GFE+∠FEG=2（∠BFA+∠BAF），
=2×30°=60°．
點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定及性質和矩形的性質；充分利用等邊三角形提供的角度及邊相等，從而得到三角形全等是正確解答本題的關鍵．