Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若OD=m，△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；
（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：S有最大值．理由如下：

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4），

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，

把B（3，0），M（1，4）代入得 ，解得 ，

∴直線BM的解析式為y=﹣2x+6，

∵OD=m，

∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），

∴S= m（﹣2m+6）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵1≤m＜3，

∴當(dāng)m= 時(shí)，S有最大值，最大值為 ；

（3）

解：存在．

∠PDC不可能為90°；

當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，則PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m= ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，3），

當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，則PC2+CD2=PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，

整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3 （舍去），m2=﹣3+3 ，

當(dāng)m=﹣3+3 時(shí)，y=﹣2m+6=6﹣6 +6=12﹣6 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3+3 ，12﹣6 ），

綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，3）或（﹣3+3 ，12﹣6 ）時(shí)，△PCD為直角三角形．

【解析】（1）把B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；（2）把（1）中的一般式配成頂點(diǎn)式可得到M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式，則P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），于是根據(jù)三角形面積公式得到S=﹣m2+3m，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）討論：∠PDC不可能為90°；當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，易得﹣2m+6=3，解方程求出m即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，利用勾股定理得到和兩點(diǎn)間的距離公式得到m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2 ，
然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．