Question

如圖，邊長為5的菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AE=4．以AE為邊向右作正方形AEFG．邊GF與CD交于點H，求FH的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,菱形的性質

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：根據(jù)勾股定理求出BE的長度，再根據(jù)菱形的四條邊都相等，正方形的四條邊都相等分別求出CE、CF、DG的長度，然后判定出△DGH和△CFH相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出GH與FH的比，最后根據(jù)GF=AE=4進行計算即可得解．

解答：解：∵菱形ABCD的邊長為5，AE⊥BC于點E，AE=4，
∴BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
∴CE=BC-BE=5-3=2，
∵正方形AEFG以AE=4為邊長，
∴CF=4-2=2，DG=5-4=1，
∵菱形ABCD的邊AD∥BC，
∴△DGH∽△CFH，
∴

GH

FH

=

DG

CF

=

1

2

，
∴FH=

2

1+2

×4=

8

3

．
故答案為：

8

3

．

點評：本題考查了正方形的性質，菱形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，計算出各邊的長度，并最后求出GH與FH的比是解題的關鍵．