Question

（10分）

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側）. 已知點坐標為（，）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點作線段的垂線交拋物線于點，如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間，問：當點

 

Answer 1

 

（1）

（2）略

（3）點的坐標為（3，）

解析:（1）解：設拋物線為.

∵拋物線經過點（0，3），∴.∴.

∴拋物線為. ……………………………3分

 (2) 答：與⊙相交. …………………………………………………………………4分

證明：當時，，.

           ∴為（2，0），為（6，0）.∴.

設⊙與相切于點，連接，則.

∵，∴.

又∵，∴.∴∽.

∴.∴.∴.…………………………6分

∵拋物線的對稱軸為，∴點到的距離為2.

∴拋物線的對稱軸與⊙相交.  ……………………………………………7分

(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點.

可求出的解析式為.………………………………………8分

設點的坐標為（，），則點的坐標為（，）.

          ∴.

          ∵,

          ∴當時，的面積最大為.

          此時，點的坐標為（3，）.  …………………………………………10分