Question

設(shè)x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的質(zhì)數(shù)，如果x²=y，

z

-

y

=2，試求積abc的所有可能的值．

Answer 1

因?yàn)閍+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，聯(lián)立解得
（a，b，c）=（

1

2

(x+y)，

1

2

(x+z)，

1

2

(y+z)）（5分）
又y=x²，于是有：a=

1

2

(x+x2)，（1）
b=

1

2

（x+z），（2）
c=

1

2

(x2+z)，（3）
由（1）解得x=

-1± 1+8a

2

（4）
因x是整數(shù)，得1+8a=T²，其中T是正奇數(shù)，（10分）
于是，2a=

T-1

2

•

T+1

2

又a是質(zhì)數(shù)，故只能有

T+1

2

=a

T-1

2

=2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²=4，因而有

z

-2=2，z=16，
代入（2）、（3）得b=9，c=10，與b、c是質(zhì)數(shù)矛盾，應(yīng)舍去．（20分）
當(dāng)x=-3時(shí)，y=9，

z

-3=2，
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）