Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，點(diǎn)P、Q、K分別為線(xiàn)段AB、BC、AC上任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：如圖，過(guò)A作AH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，
∵AB=CB=4，S△ABC=4 ，
∴AH=2 ，
∴cos∠HAB= = ，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，
過(guò)P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
則P′Q 的長(zhǎng)度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四邊形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2 ，
即PK+QK的最小值為2 ．
故答案為：2 ．

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)的所有連線(xiàn)中垂直線(xiàn)段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥BC時(shí)PK+QK的最小值，然后求解即可．