Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？

（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1），y=﹣x+3；（2）；（3）存在面積最大，最大是，此時(shí)點(diǎn)P（，）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線，直線解析式；

（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）確定出面積達(dá)到最大時(shí)，直線PC和拋物線相交于唯一點(diǎn)，從而確定出直線PC解析式，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD，計(jì)算即可．

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；

（2）由運(yùn)動(dòng)得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=；

（3）如圖，存在，過點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y=﹣x+3，∴設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b，聯(lián)立，∴，∴，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴ P（，）．

過點(diǎn)B作BD⊥PC，∴直線BD解析式為y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=，S最大=AB×BD==．

即：存在面積最大，最大是，此時(shí)點(diǎn)P（，）．