Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，cm，OC＝8 cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)用t的式子表示△OPQ的面積S；

(2)求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；

(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵CQ＝t，OP＝t，CO＝8　　∴OQ＝8－t 　　∴S△OPQ＝(0＜t＜8)　　3分 　　(2)∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ 　�。�＝32　　5分 　　∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32　　6分 　　(3) 　　當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90° 　　又∵BQ與AO不平行　　∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ 　　∴根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP　　7分 　　∴解得：t＝4 　　經(jīng)檢驗(yàn)：t＝4是方程的解且符合題意(從邊長(zhǎng)關(guān)系和速度) 　　此時(shí)P(，0) 　　∵B(，8)且拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)， 　　∴拋物線是，直線BP是：　　8分 　　設(shè)M(m，)、N(m，) 　　∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)　　∴ 　　∵與交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P 　　∴當(dāng)時(shí)，y1＞y2　　9分 　　∴|MN|＝|y1－y2|＝　　∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是2 　　∴設(shè)MN與BQ交于H　點(diǎn)則、 　　∴S△BHM＝＝ 　　∴S△BHM∶S五邊形QOPMH＝＝3∶29 　　∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3∶29．10分