Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝－x²＋x＋m²－3m＋2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2，n)在這條拋物線上．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E．延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D．使得ED＝PE．以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))j 當(dāng)?shù)妊苯侨切?I>PCD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；k 若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位(當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng))．過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F．延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)，N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))．若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線y＝－x2＋x＋m2－3m＋2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2， 　　由題意知m≠1，∴m＝2，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x，∵點(diǎn)B(2，n)在拋物線y＝－x2＋x上，∴n＝4，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)． 　　(2)①設(shè)直線OB的解析式為y＝k1x，求得直線OB的解析式為y＝2x，∵A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，2a)，根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，如圖． 　　可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a，2a)，由C點(diǎn)在拋物線上，得2a＝－´ (3a)2＋´ 3a，即a2－a＝0，解得a1＝，a2＝0(舍去)，∴OP＝． 　　②依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y＝k2x＋b，由點(diǎn)A(10，0)，點(diǎn)B(2，4)，求得直線AB的解析式為y＝－x＋5，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況： 第一種情況：CD與NQ在同一條直線上．如圖所示． 　　可證△DPQ為等腰直角三角形．此時(shí)OP、DP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位．∴PQ＝DP＝4t，∴t＋4t＋2t＝10，∴t＝． 　　第二種情況：PC與MN在同一條直線上．如圖所示． 　　可證△PQM為等腰直角三角形．此時(shí)OP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位．∴OQ＝10－2t，∵F點(diǎn)在直線AB上，∴FQ＝t，∴MQ＝2t，∴PQ＝MQ＝CQ＝2t，∴t＋2t＋2t＝10，∴t＝2． 　　第三種情況：點(diǎn)P、Q重合時(shí)，PD、QM在同一條直線上，如圖所示． 　　此時(shí)OP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位．∴t＋2t＝10，∴t＝．綜上，符合題意的t值分別為，2，．