Question

【題目】如圖．在平面直角坐標系中．拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣2）．已知點E（m，0）是線段AB上的動點（點E不與點A，B重合）．過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P．交BC于點F．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）當線段EF，PF的長度比為1：2時，請求出m的值；

（3）是否存在這樣的m，使得△BEP與△ABC相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝2或4；（3）存在，m的值為0或3．

【解析】

（1）把點A、點C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）設(shè)點E的坐標為（m，0），則點F的坐標為（m，m﹣2），PE=2EF，即：m﹣2m2m+2=2（2m），即可求解；

（3）當△BEP與△ABC相似，分∠EPB=∠CAB或∠EPB=∠ABC兩種情況，求解即可．

拋物線過點C，則其表達式為：yx2+bx﹣2，

將點A坐標代入上式得：0b﹣2，

解得：b，

故：拋物線的表達式為：yx2x﹣2；

設(shè)直線BC過點C（0，﹣2），設(shè)其表達式為：y=kx﹣2，

將點B坐標代入上式得：0=4k﹣2，

解得：k，則直線BC的表達式為：yx﹣2，

同理直線AC的表達式為：y=﹣2x﹣2，

設(shè)點E的坐標為（m，0），則點F的坐標為（m，m﹣2），

當線段EF，PF的長度比為1：2時，即：PE=2EF，則：m﹣2m2m+2=2（2m），解得：m=2或4；

直線BC的表達式為：yx﹣2，直線AC的表達式為：y=﹣2x﹣2，則：BC⊥AC，當△BEP與△ABC相似，則∠EPB=∠CAB，或∠EPB=∠ABC，

即：tan∠EPB=tan∠CAB，或tan∠EPB=tan∠ABC，

當tan∠EPB=tan∠CAB時，即：，

解得：m=0或4（舍去m=4），

同理，當tan∠EPB=tan∠ABC，m=3或4（舍去m=4）．

故存在，m的值為0或3．