Question

（本小題滿分7分）

如圖，已知拋物線y₁=-x²+bx+c經(jīng)過A(1,0)，B(0,-2)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

1.（1）求拋物線y₁ 的解析式；

2.（2）將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AO′ B′ ，將拋物線y₁沿對(duì)稱軸平移后經(jīng)過點(diǎn)B′ ，寫出平移后所得的拋物線y₂ 的解析式；

3.（3）設(shè)（2）的拋物線y₂與軸的交點(diǎn)為B₁，頂點(diǎn)為D₁，若點(diǎn)M在拋物線y₂上，且滿足△MBB₁的面積是△MDD₁面積的2倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

 

Answer 1

 

1.解：(1)已知拋物線y₁=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求拋物線的解析式為y₁=-x² +3x-2

2.（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)， ∴ OA=1,OB=2．

      由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴B′ 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3，-1) ．

      ∵ 拋物線y₁的頂點(diǎn)D(,)，且拋物線y₂ 是由y₁沿對(duì)稱軸平移后得到的，

∴ 可設(shè)y₂ 的解析式為y₂=- (x -)²+k ．

∵ y₂經(jīng)過點(diǎn)B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．

∴ y₂=- (x -)² +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3，-1) ．

∵ 當(dāng)x=3時(shí)，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知拋物線y₁過點(diǎn) (3，-2) ．

∴ 將拋物線y₁沿y軸向上平移1個(gè)單位后過點(diǎn)B′．

∴ 平移后的拋物線y₂的解析式為：y₂=-x² +3x-1

3.（3）∵ y₁=-x²+3x-2= -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，

∴ 頂點(diǎn)D(,)，D₁(,)． ∴DD₁=1．

又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴ BB₁=1．

 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n) ，

∵BB₁=DD₁，由，

可知當(dāng)m≤0時(shí)，符合條件的M點(diǎn)不存在；…………………………………… 5′

  而當(dāng)0<m<時(shí)，有m=2(-m)，解得m=1；

當(dāng)m>時(shí)，有m=2(m -)，解得m=3．

當(dāng)m=1時(shí)，n=1； 當(dāng)m=3時(shí)，n=-1．

∴ M₁(1,1)，M₂ (3,-1)．

解析:略