Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）交x軸與A，B兩點（點A在點B左側），將直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，邊WZ經(jīng)過拋物線上的點C（4，m），與拋物線的另一交點為點D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得△ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在一點P（1，），使得△ACP的面積最大，面積的最大值為；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）∵S△CEF=EFyC=×2m=6，∴m=6，即點C的坐標為（4，6），將點C（4，6）代入拋物線（a≠0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=，∴該拋物線的解析式為；

（2）假設存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N，如圖1所示．

令拋物線中y=0，則有，解得：，，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，）（﹣2＜n＜4），∵直線AC過點A（﹣2，0）、C（4，6），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+2．

∵點P的坐標為（n，），∴點N的坐標為（n，n+2）．

∵S△ACP=PN（xC﹣xA）==，∴當n=1時，S△ACP取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（1，），∴在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為，此時點P的坐標為（1，）．

（3）∵直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，∴設直線CD的解析式為y=﹣x+c，∵點C（4，6）在直線CD上，∴6=﹣4+c，解得：c=10，∴直線CD的解析式為y=﹣x+10．

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組：，解得：，或，∴點D的坐標為（2，8）．

令直線CD的解析式y(tǒng)=﹣x+10中y=0，則0=﹣x+10，解得：x=10，即點E的坐標為（10，0），∵EF=2，且點E在點F的左邊，∴點F的坐標為（12，0）．

設點M的坐標為（12﹣2t，0），則點N的坐標為（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵點N（10﹣2t，2）在拋物線的圖象上，∴，整理得：，解得：，，∴當t為或秒時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．