Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，D是⊙O上于點(diǎn)，且 = ，弦AD的延長(zhǎng)線交切線PC于點(diǎn)E，連接AC．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）若⊙O的直徑為5，sinP= ，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵BC=CD，

∴∠OAC=∠CAD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AE．

∴∠E=∠OCP．

∵PE是的切線，C為切點(diǎn)，

∴∠OCP=90°．

∴∠E=90°

（2）解：在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P= = ，

∴OP= ，

在Rt△APE中，AP= +2.5= ，sin∠P= = ，

∴AE=4．

【解析】（1）連接OC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠OCP．根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用切線的性質(zhì)定理和解直角三角形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．