Question

如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交DC于點(diǎn)F，連接AF．設(shè)=k，下列結(jié)論：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當(dāng)k=1時(shí)，△ABE∽△ADF，其中結(jié)論正確的是（ ）

A．（1）（2）（3）
B．（1）（3）
C．（1）（2）
D．（2）（3）

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠FEC，然后利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△ABE∽△ECF；
（2）由（1），根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，又由E是BC的中點(diǎn)，即可得，繼而可求得tan∠BAE=tan∠EAF，即可證得AE平分∠BAF；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，可得四邊形ABCD是正方形，由（1）易求得CF：CD=1：4，繼而可求得AB：CD與BE：DF的值，可得△ABE與△ADF不相似．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正確；

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中點(diǎn)，
即BE=EC，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正確；

（3）∵當(dāng)k=1時(shí)，即=1，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴CF=CD，
∴DF=CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE與△ADF不相似；
故（3）錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．