Question

（2013•歷城區(qū)三模）如圖，在斜邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形OAB中，作內(nèi)接正方形A₁B₁D₁C₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中作內(nèi)接正方形A₂B₂D₂C₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中作內(nèi)接正方形A₃B₃D₃C₃；…；依次做下去，則第n個(gè)正方形A_nB_nD_nC_n的邊長(zhǎng)是

1

3n

．

Answer 1

分析：過O作OM垂直于AB，交AB于點(diǎn)M，交A₁B₁于點(diǎn)N，由三角形OAB與三角形OA₁B₁都為等腰直角三角形，得到M為AB的中點(diǎn)，N為A₁B₁的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出OM為AB的一半，由AB=1求出OM的長(zhǎng)，再由ON為A₁B₁的一半，即為MN的一半，可得出ON與OM的比值，求出MN的長(zhǎng)，即為第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理求出第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，依此類推即可得到第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：過O作OM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交A₁B₁于點(diǎn)N，如圖所示：
∵A₁B₁∥AB，
∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM=

1

2

AB=

1

2

，
又∵△OA₁B₁為等腰直角三角形，
∴ON=

1

2

A₁B₁=

1

2

MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₁C₁=MN=

2

3

OM=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₂C₂=

2

3

ON=

2

3

×

1

6

=

1

32

，
則第n個(gè)正方形A_nB_nD_nC_n的邊長(zhǎng)為：

1

3n

．
故答案為：

1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，屬于一道規(guī)律型的題，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．