Question

求滿足下列條件的正整數n的所有可能值：對這樣的n，能找到實數a、b，使得函數f（x）=

1

n

x²+ax+b對任意整數x，f（x）都是整數．

Answer 1

設函數f（x）=

1

n

x²+ax+b對任意整數x，f（x）都是整數，
則g（x）=f（x+1）-f（x），
=[

1

n

（x+1）²+a（x+1）+b]-[

1

n

x²+ax+b]，
=

2

n

x+

1

n

+a，也為整數，
則，g（x+1）-g（x）=

2

n

也是整數，
所以，n=1或2，
當n=1時，取整數a、b，則f（x）=x²+ax+b對任意整數x，f（x）都是整數，
當n=2時，取a=

1

2

，b為整數，則f（x）=

1

2

x²+

1

2

x+b=

1

2

x（x+1）+b，對于任意整數x，f（x）都是整數．
綜上所述，n=1或2．