【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D.
(1)求證:∠CAD=∠B.
(2)若AC是∠BAD的平分線,sinB=,BC=2.求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)⊙O的半徑為.
【解析】
(1)連結AO,并延長AO交⊙O與點E,連結EC,依據圓周角定理可得到∠B=∠E,然后根據直徑所對的圓周角為90°,得出∠E+∠EAC=90°,再根據切線的性質可得∠EAC+∠CAD=90°,進行證明即可;
(2)根據AC是∠BAD的平分線,結合(1)中結論證出BC=AC,然后由∠B=∠E可得到sinE=,從而可求得AE的長,然后可求得⊙O的半徑.
解:(1)連結AO,并延長AO交⊙O與點E,連結EC.
∵AD為⊙O的切線,
∴OA⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴∠EAC+∠CAD=90°.
∵AE為⊙O的直徑,
∴∠E+∠EAC=90°,
∴∠E=∠CAD.
又∵∠E=∠B,
∴∠CAD=∠B.
(2)∵AC是∠BAD的平分線,
∴∠BAC=∠CAD.
又∵∠CAD=∠B,
∴∠BAC=∠CAB.
∴AC=BC=2.
又∵∠E=∠B,
∴∠CAD=∠B.
∴sinE=sinB=,
在RtAEC中,sinE=,
即=,解得AE=,
∴⊙O的半徑為.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△ABD∽△DCP;
(3)當AB=5cm,AC=12cm時,求線段PC的長.
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【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E是邊BC上的點,將線段DE繞點E逆時針旋轉90°得到EF,過點C作CG∥EF交BA(或其延長線)于點G,連接DF,FG.
(1)FG與CE的數量關系是 ,位置關系是 .
(2)如圖2,若點E是CB延長線上的點,其它條件不變.
①(1)中的結論是否仍然成立?請作出判斷,并給予證明;
②DE,DF分別交BG于點M,N,若BC=2BE,求.
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【題目】如圖,⊙O內切于Rt△ABC,點P、點Q分別在直角邊BC、斜邊AB上,PQ⊥AB,且PQ與⊙O相切,若AC=2PQ,則tan∠B的值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,小華在體育館的看臺P處進行觀測,測得另一看臺觀眾A處的俯角為15°,觀眾B處的俯角為60°,已知觀眾A、B所在看臺的坡度i(即tan∠ABC)為1:,點P、H、B、C、A在同一個平面上,點H、B、C在同一條直線上,且PH⊥HC,PH=15米.
(1)AB所在看臺坡角∠ABC=____度;
(2)求A、B兩點間的距離.(結果精確到0.1米,參考數據:≈1.73)
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【題目】二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,以下結論:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其頂點坐標為(,﹣2);⑤當x<時,y隨x的增大而減小;⑥a+b+c>0;⑦方程ax2+bx+c=﹣4有實數解,正確的有( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
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【題目】如圖,Rt△AOB在平面直角坐標系中,已知:B(0,),點A在x軸的正半軸上,OA=3,∠BAD=30°,將△AOB沿AB翻折,點O到點C的位置,連接CB并延長交x軸于點D.
(1)求點D的坐標;
(2)動點P從點D出發(fā),以每秒2個單位的速度沿x軸的正方向運動,當△PAB為直角三角形時,求t的值;
(3)在(2)的條件下,當△PAB為以∠PBA為直角的直角三角形時,在y軸上是否存在一點Q使△PBQ為等腰三角形?如果存在,請直接寫出Q點的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD,將邊CD繞點C順時針旋轉60°,得到線段CE,連接DE,AE,BD交于點F.
(1)求∠AFB的度數;
(2)求證:BF=EF;
(3)連接CF,直接用等式表示線段AB,CF,EF的數量關系.
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