Question

【題目】小明在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，將邊長(zhǎng)為和3的兩個(gè)正方形放置在直線(xiàn)l上，如圖a,他連接AD、CF，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)AD=CF．

（1）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖b，試判斷AD與CF還相等嗎？說(shuō)明理由．

（2）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線(xiàn)l上，如圖c，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（1）AD=CF。理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。

在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，

∴△AOD≌△COF（SAS）。

∴AD=CF。

（2）與（1）同理求出CF=AD，

如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=OE，

∵正方形ODEF的邊長(zhǎng)為，∴OE=×=2。

∴DG=OG=OE=×2=1。

∴AG=AO+OG=3+1=4，

在Rt△ADG中， ，

∴CF=AD=。

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。

（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AD。