Question

（1）操作：如圖1，在線段AB所在的直線上取一點O（O點在線段外），將線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形是個圓環(huán)（如圖2），此圓環(huán)的面積就是線段AB所掃過的面積，已知AB=2，OA=1，則線段AB掃過的面積為

 

．

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，若將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一周，那么邊BC掃過的圖形為

 

，面積為

 

．
（3）若將圖3中的Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則邊AB掃過的圖形是什么？面積為多少？
（結(jié)果中保留π）

Answer 1

分析：（1）線段AB所掃過的圓環(huán)的面積為大圓的面積減去小圓的面積，其中大圓半徑OB=3，小圓半徑OA=1，利用圓的面積公式計算即可；
（2）將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一周，那么邊BC掃過的圖形為圓環(huán)，它的面積為大圓的面積減去小圓的面積，其中大圓半徑AB=4，小圓半徑AC=2，利用圓的面積公式計算即可；
（3）Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則邊AB掃過的圖形是圓環(huán)，它的面積為大圓的面積減去小圓的面積，其中小圓半徑為C到AB的距離CE=

3

，大圓半徑CB=2

3

，利用圓的面積公式計算即可；

解答：解：（1）∵AB=2，OA=1，
∴OB=3，
∴S_{圓環(huán)}=π（OB²-OA²）=π（9-1）=8π；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∵將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一周，那么邊BC掃過的圖形為圓環(huán)，
∴邊BC掃過的圖形面積=π（AB²-AC²）=π（4²-2²）=12π；

（3）過C作CE⊥AB，如圖，
Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則邊AB掃過的圖形是以CE和CB為半徑的兩圓形成的圓環(huán)，
∵∠B=30°，AC=2，
∴BC=2

3

，
∴CE=

3

，
∴S_{圓環(huán)}=π（CB²-CE²）=π（12-3）=9π．
故答案為8π；圓環(huán)，12π．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．同時考查了含30的直角三角形三邊的關(guān)系以及圓的面積公式．