Question

【題目】已知拋物線y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少？

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3；(2) P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；(3) （1，﹣4）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；（2）作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可．

試題解析：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），

∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，

∴b=﹣3，

∴y=﹣x﹣3，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣5，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5），

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，

解得，a=﹣，

則拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x軸于H，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合題意，舍去），

當(dāng)m=﹣4時(shí)，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴=，即AB2=ACPB，

∴42=，

解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，

則n=5a=﹣，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合題意，舍去），

當(dāng)m=﹣6時(shí)，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴=，即AB2=BCPB，

∴42=，

解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

則tan∠DAN===，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE==EF，

∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=+=BE+EF，

∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，

則BE⊥DM，E(1,﹣4)．