Question

已知一元二次方程x²-kx+2（k-3）=0，是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的平方和為9，如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可知（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出關(guān)于k的一元二次方程，通過解方程即可求得k的值；根據(jù)根的判別式即可判別方程是否有兩個不相等的實數(shù)根．
解答：設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，那么x₁²+x₂²=9
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9（2分）
由題意得：x₁+x₂=k，x=2k-6（2分）
∴k²-4k+12=9，k²-4k+3=0（1分）
解得：k₁=1；k₂=3（1分）
由題意得：△=b²-4ac=k²-4×2（k-3）=k²-8k+24=（k-4）²+8（2分）
∵（k-4）²≥0，∴（k-4）²+8＞0，即△＞0（2分）
∴不論k取任何實數(shù)，方程有兩個不同的實數(shù)根；（1分）
∴當(dāng)k₁=1或是k₂=3時，方程的兩個實數(shù)根的平方和為9．（1分）
點評：本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，關(guān)鍵在于求出關(guān)于k的一元二次方程，求解．