Question

在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個數(shù)是關(guān)于x的方程的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先把原方程化為2x²-3x-（k+3）=0，一定是一個一元二次方程，在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個數(shù)是關(guān)于x的方程的解，因而可能方程有兩個相同的實(shí)根，求得即可進(jìn)行判斷；或解方程得到的兩個根中有一個是方程的增根，即x=1是方程2x²-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后進(jìn)行判斷；或方程有兩個異號得實(shí)數(shù)根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，進(jìn)行判斷．因而這個方程中再分四種情況討論：
（1）當(dāng)△=0時；
（2）若x=1是方程①的根；
（3）當(dāng)方程①有異號實(shí)根時；
（4）當(dāng)方程①有一個根為0時，最后結(jié)合題意總結(jié)結(jié)果即可．
解答：解：原方程可化為2x²-3x-（k+3）=0，①
（1）當(dāng)△=0時，，滿足條件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；
此時方程①的另一個根為，故原方程也只有一根；
（3）當(dāng)方程①有異號實(shí)根時，，得k＞-3，此時原方程也只有一個正實(shí)數(shù)根；
（4）當(dāng)方程①有一個根為0時，k=-3，另一個根為，此時原方程也只有一個正實(shí)根．
綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是或k=-4或k≥-3．
點(diǎn)評：主要考查了方程解的定義和分式的運(yùn)算，此類題型的特點(diǎn)要分情況討論．