Question

先閱讀下面材料，再回答問題．
一般地，如果函數(shù)y的自變量x在a＜x＜b范圍內(nèi)，對于任意x₁，x₂，當(dāng)a＜x₁＜x₂＜b時，總是有y₁＜y₂（y_n是與x_n對應(yīng)的函數(shù)值），那么就說函數(shù)y在a＜x＜b范圍內(nèi)是增函數(shù)．
例如：函數(shù)y=x²在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù)．
證明：在正實數(shù)范圍內(nèi)任取x₁，x₂，若x₁＜x₂，
則y₁-y₂=x₁²-x₂²=（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）
因為x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
所以x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）＜0
即y₁-y₂＜0，亦即y₁＜y₂，也就是當(dāng)x₁＜x₂時，y₁＜y₂．
所以函數(shù)y=x²在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù)．
問題：
（1）下列函數(shù)中．①y=-2x（x為全體實數(shù)）；②y=-

2

x

（x＞0）；③y=

1

x

（x＞0）；在給定自變量x的取值范圍內(nèi)，是增函數(shù)的有

②

．
（2）對于函數(shù)y=x²-2x+1，當(dāng)自變量x

＞1

時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．
（3）說明函數(shù)y=-x²+4x，當(dāng)x＜2時是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性分別進(jìn)行判斷即可得解；
（2）先求出二次函數(shù)的對稱軸解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答；
（3）根據(jù)題目信息，按照增函數(shù)的證明方法進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）①y=-2x，
∵k=-2＜0，
∴x在全體實數(shù)范圍內(nèi)y隨x的增大而減��；
②y=-

2

x

（x＞0），
∵k=-2＜0，
∴x＞0時，y隨x的增大而增大；
③y=

1

x

（x＞0），
∵k=1＞0，
∴x＞0時，y隨x的增大而減小，
綜上所述，增函數(shù)只有②；

（2）二次函數(shù)y=x²-2x+1的對稱軸為x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵二次函數(shù)開口向上，
∴自變量x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；

（3）證明：設(shè)x₁＜x₂＜2，
則y₁-y₂=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂），
=-x₁²+x₂²+4x₁-4x₂，
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）（4-x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜2，
∴-x₁＞-x₂＞-2，x₁-x₂＜0，
∴4-x₁-x₂＞0，
∴（x₁-x₂）（4-x₁-x₂）＜0，
即y₁-y₂＜0，
亦即y₁＜y₂，
也就是當(dāng)x₁＜x₂＜2時，y₁＜y₂，
所以函數(shù)y=x²在正實數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了正比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性，二次函數(shù)的增減性以及增函數(shù)的定義，讀懂題目信息，弄明白增函數(shù)的證明過程，問題便不難解決．