Question

如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，∠EAB=∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長.

 

Answer 1

（1）證明：如答圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°.       （1分）  

∴∠ADB+∠EDC=90°.              

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.

∴EA是⊙O的切線.              （2分）

（2）證明：如答圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°.

∴∠CBA=∠ABC=90°.         （3分）

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF.

∴∠BAC=∠AFE.  （4分）    ∴△EAF∽△CBA.    （5分）

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.      （6分）

∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=.∴EF=.      （7分）

∴. （8分）