Question

如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．

(1)求證：AB·AF＝CB·CD；

(2)已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射線DE上的動點．設(shè)DP＝x cm(x＞0)，四邊形BCDP的面積為y cm²．

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵，，∴DE垂直平分AC， 　　∴，∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF　　1分 　　∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．2分 　　在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B， 　　∴△DCF∽△ABC　　3分 　　∴，即．∴AB·AF＝CB·CD　　4分 　　(2)解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， 　　∴，∴　　5分 　　∴()　　7分 　�、凇�BC＝9(定值)，∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最�。�(1)知，點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最�。� 　　顯然當(dāng)P、A、B三點共線時PB＋PA最小．此時DP＝DE，PB＋PA＝AB　　8分 　　由(1)，，，得△DAF∽△ABC． 　　EF∥BC，得，EF＝． 　　∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10　　10分 　　Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8． 　　∴　　11分 　　∴當(dāng)時，△PBC的周長最小，此時　　12分