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(2009•海南)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形,E是AB的中點,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:①△AEF≌△BEC;②四邊形BCFD是平行四邊形;
(2)如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,HK為折痕,求sin∠ACH的值.

【答案】分析:(1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,從而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E為AB的中點,得到AE=BE.又因為∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC.
②在Rt△ABC中,E為AB的中點,則CE=AB,BE=AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因為∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.
(2)在Rt△ABC中,設BC=a,則AB=2BC=2a,AD=AB=2a.設AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2
在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:HC求值.
解答:(1)證明:①在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
在等邊△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E為AB的中點,
∴AE=BE.
又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC.

②在△ABC中,∠ACB=90°,E為AB的中點,
∴CE=AB,BE=AB.
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四邊形BCFD是平行四邊形.

(2)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,設BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
設AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2
解得x=a,即AH=a.
∴HC=2a-x=2a-a=a.
∴sin∠ACH==
點評:本題考查了:
(1)折疊的性質:折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據軸對稱的性質,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等;
(2)全等三角形的判定和性質,等腰直角三角形的性質,勾股定理,平行線的判定和性質,平行四邊形的判定和性質,正弦的概念求解.
練習冊系列答案
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(2009•海南)如圖,已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標為(2,4);矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線所對應的函數關系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動,設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

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①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

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①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
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①當t=時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

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(3)作出點C關于x軸的對稱點P.若點P向右平移x個單位長度后落在△A1B1C1的內部,請直接寫出x的取值范圍.

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同步練習冊答案
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