Question

四邊形ABCD內(nèi)接于圓，且CD=1，AB=，BC=2，∠ABC=45°，則四邊形ABCD的面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據(jù)AB=，BC=2，∠ABC=45°可以推出BC是圓的直徑．
過A作AF⊥BC于F，可以得到AF=BF=1，∠BAF=∠CAF=45°．
在直角三角形BCD中，由CD=1，BC=2可以得到∠DBC=30°，∠BCD=60°．
過D作DE⊥BC于E，可以求出DE=；過D作DH⊥AF于H，接著求出AH，DH，然后就可以求出三角形AHD的面積，三角形ABF的面積，矩形DHFE的面積，三角形EDC的面積，最后即可求出四邊形ABCD的面積．
解答：解：如圖，過A作AF⊥BC于F．
∵AB=，∠ABC=45°，
∴BF=AF=1，
而BC=2，
∴F為CB中點，
∴AC=，∠BAC=90°，
∴BC應(yīng)該是圓的直徑，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
∴∠BDC=90°．
∴直角三角形BCD中，CD=1，BC=2，
∴∠DBC=30°，∠BCD=60°．
過D作DE⊥BC于E．
∴DE=，
過D作DH⊥AF于H，
∴AH=．
DH=CF-CE=1-1.5=0.5，
∴S_△AHD=．
而S_△ABF=，S_矩形DHFE=，S_△EDC=，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABF+S_△AHD+S_△DEC+S_矩形DHFE=．
故選D．
點評：此題首先通過作輔助線把一般四邊形的面積問題轉(zhuǎn)換為幾個規(guī)則圖形的面積的和差，此題關(guān)鍵是根據(jù)邊的長和角的度數(shù)來得出特殊三角形從而求出四邊形的面積．