如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),?ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F,與射線DC交于點(diǎn)G.
(1)求∠DCB的度數(shù);
(2)當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-4,0)時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)連接OE,以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸,△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF′,記直線EF′與射線DC的交點(diǎn)為H.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí),求證:△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面積為,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)由于平行四邊形的對(duì)角相等,只需求得∠DAO的度數(shù)即可,在Rt△OAD中,根據(jù)A、D的坐標(biāo),可得到OA、OD的長(zhǎng),那么∠DAO的度數(shù)就不難求了.
(2)根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)求得直線EF的方程,然后將點(diǎn)G的縱坐標(biāo)代入該直線方程即可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo).
(3)①根據(jù)A、D的坐標(biāo),易求得E點(diǎn)坐標(biāo),即可得到AE、OE的長(zhǎng),由此可判定△AOE是等邊三角形,那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°,由此可推出OF′∥AE,即∠DEH=∠OF′E,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠OF′E=∠EFA,通過(guò)等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH,由此可證得所求的三角形相似.
②過(guò)E作CD的垂線,設(shè)垂足為M,則EM為△EGH中GH邊上的高,根據(jù)△EGH的面積即可求得GH的長(zhǎng),在①題已經(jīng)證得△DEG∽△DHE,可得DE2=DG•DH,可設(shè)出DG的長(zhǎng),然后表示出DH的值,代入上面的等量關(guān)系式中,即可求得DG的長(zhǎng),根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知:DG=AF,由此得到AF的長(zhǎng),進(jìn)而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo),需注意的是,在表示DH的長(zhǎng)時(shí),要分兩種情況考慮:一、點(diǎn)H在G的右側(cè),二、點(diǎn)H在G的左側(cè).
解答:解:(1)在直角△OAD中,∵tan∠OAD==
∴∠A=60°,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠C=∠A=60°;

(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-1,).
設(shè)直線EF的方程為y=kx+b(k≠0),則
解得,,
∴直線EF的解析式是:y=x+
又∵點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是2,
∴2=x+
解得,x=2,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是(2,2);

(3)①證明:∵E(-1,),AE=DE=2,OE=OA=2,
∴△OAE是等邊三角形,則∠AOE=∠AEO=60°;
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知:∠AOE=∠EOF′,故∠EOF′=∠AEO=60°,即OF′∥AE,
∴∠OF′E=∠DEH;
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE,
∴∠DGE=∠DEH,
又∵∠GDE=∠EDH,
∴△DGE∽△DEH.

②過(guò)點(diǎn)E作EM⊥直線CD于點(diǎn)M,
∵CD∥AB,
∴∠EDM=∠DAB=60°,
∴EM=DE•sin60°=2×=
∵S△EGH=GH•ME=×GH=3,
∴GH=6;
∵△DHE∽△DEG,
=即DE2=DG•DH,
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí),設(shè)DG=x,DH=x+6,
∴4=x(x+6),
解得:x1=-3+,x2=-3-(舍去),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1-,0);
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí),設(shè)DG=x,DH=x-6,
∴4=x(x-6),
解得:x1=3+,x2=3-(舍去),
∵△DEG≌△AEF,
∴AF=DG=3+,
∵OF=AO+AF=3++2=5+,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(--5,0),
綜上可知,點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩個(gè),分別是F1(1-,0),F(xiàn)2(--5,0).
點(diǎn)評(píng):此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,主要有:平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì),綜合性強(qiáng),難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說(shuō)在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作
(2,2)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:同步輕松練習(xí) 八年級(jí) 數(shù)學(xué) 上 題型:059

學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn).

(3)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時(shí),s的值.

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閱讀下面的材料:

小明在研究中心對(duì)稱問題時(shí)發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)再繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),小明發(fā)現(xiàn)P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)、, 小明在證明P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí),除了說(shuō)明P、、三點(diǎn)共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn). 繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐為.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說(shuō)在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),
(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作______.

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