Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，點M為EC的中點．

（1）如圖，當點D，E分別在AC，AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；
（2）如圖，將圖中的△ADE繞點A逆時針旋轉45°，使點D落在AB上，此時問題（1）中的結論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結論加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線的性質，推出BM=DM，然后即可推出∠BME=2∠BCM，∠EMD=2∠DCM，再根據等腰直角三角形的性質，即可推出，∠BMD=90°即可推出結論；
（2）延長DM交BC于點N，通過求證△EDM≌△CNM，推出AD=CN，推出BD=BN，BM=

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DN=DM，即可推出BM⊥DN，便可推出“△BMD為等腰直角三角形”．

解答：（1）證明：如圖，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，BA=BC，
∴∠BCA=45°，
∵點M為EC的中點，
∴BM=

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EC=MC，DM=

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EC=MC，
∴BM=DM，
∴∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∴∠BME=2∠BCM，∠EMD=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCA=2×45°=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形．

（2）解：△BMD為等腰直角三角形．理由如下：
延長DM交BC于點N．
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90°，
∴∠EDB=∠DBC，
∴ED∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵點M為EC的中點，
∴EM=CM，
∵在△EDM與△CNM中，∠DEM=∠NCM，EM=CM，∠EMD=∠CMN，
∴△EDM≌△CNM，
∴ED=CN，MD=MN，
∴AD=CN，
∴BA-DA=BC-NC，
即BD=BN，
∴BM=

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DN=DM，
∴BM⊥DN，即∠BMD=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形．

點評：本題主要考查等腰直角三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質的知識點的綜合應用，解題關鍵在于熟練運用相關的性質定理推出BM=DM，∠BMD=90°．