Question

18、設(shè)有編號(hào)為1、2、3…100的100盞電燈，各有接線開(kāi)關(guān)控制著，開(kāi)始時(shí)，它們都是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生，第1個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)時(shí)，凡號(hào)碼是1的倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉了一下，接著第二個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，由號(hào)碼是2的倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉一下，第n個(gè)（n≤100）學(xué)生進(jìn)來(lái)，凡號(hào)碼是n的倍數(shù)的開(kāi)關(guān)拉一下，如此下去，最后一個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，把編號(hào)能被100整除的電燈上的開(kāi)關(guān)拉了一下，這樣做過(guò)之后，請(qǐng)問(wèn)哪些燈還亮著？

Answer 1

分析：在1到100這些燈中，很容易發(fā)現(xiàn)第1個(gè)被拉了1下，第二個(gè)被拉了2下，第三個(gè)被拉了2下…
這些燈的編號(hào)數(shù)字有幾個(gè)公約數(shù)，它就被拉了幾下
很容易發(fā)現(xiàn)，非平方數(shù)一定有偶數(shù)個(gè)公約數(shù)，平方數(shù)一定有奇數(shù)個(gè)公約數(shù)
只有被拉了奇數(shù)下的燈才亮著，所以1～100中平方數(shù)有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10個(gè)平方數(shù)，所以亮著的燈有10個(gè)

解答：解：首先，電燈編號(hào)有幾個(gè)正約數(shù)，它的開(kāi)關(guān)就會(huì)被拉幾次，由于一開(kāi)始電燈是關(guān)的，所以只有哪些被拉過(guò)奇數(shù)次的燈才是亮的，因?yàn)橹挥衅椒綌?shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以哪些編號(hào)為1、2²、3²、4²、5²、6²、7²、8²、9²、10²共10盞燈是亮的．

點(diǎn)評(píng)：1、燈的亮暗與它的亮暗變化的次數(shù)有關(guān)．即如果它的亮暗變化的次數(shù)是奇數(shù)，那么它是亮的．
2、亮暗的變化次數(shù)又與它的編號(hào)的約數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．
只有平方數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)在1～100中平方數(shù)有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10個(gè)平方數(shù)，所以亮著的燈有10個(gè)