Question

將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B(–3，0)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；

(3)在第一象限內的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與(2)中△APE的最大面積相等？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a　≠　0)的圖象經過點A(0，6)， 　　∴c＝6．　　1分 　　∵拋物線的圖象又經過點(–3，0)和(6，0)， 　　∴　　2分 　　解之，得　　3分 　　故此拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋6　　4分 　　(2)設點P的坐標為(m，0)， 　　則PC＝6－m，S△ABC＝BC·AO＝×9×6＝27．5分 　　∵PE∥AB， 　　∴△CEP∽△CAB　　6分 　　∴＝()2，即＝()2 　　∴S△CEP＝(6－m)2．7分 　　∵S△APC＝PC·AO＝(6－m)×6＝3(6－m) 　　∴S△APE＝S△APC－S△CEP＝3(6－m)－(6－m)2＝－(m－)2＋． 　　當m＝時，S△APE有最大面積為；此時，點P的坐標為(，0)．8分 　　(3)如圖，過G作GH⊥BC于點H，設點G的坐標為G(a，b)，9分 　　連接AG、GC， 　　∵S梯形AOHG＝a(b＋6)， 　　S△CHG＝(6－a)b 　　∴S四邊形AOCG＝a(b＋6)＋(6－a)b＝3(a＋b)．10分 　　∵S△AGC＝S四邊形AOCG－S△AOC 　　∴＝3(a＋b)－18．11分 　　∵點G(a，b)在拋物線y＝－x2＋x＋6的圖象上， 　　∴b＝－a2＋a＋6． 　　∴＝3(a－a2＋a＋6)－18 　　化簡，得4a2－24a＋27＝0 　　解之，得a1＝，a2＝ 　　故點G的坐標為(，)或(，)．12分