Question

如圖，以直角坐標系的原點O為圓心作⊙O，點M、N是⊙O上的兩點，M（-1，2），N（2，1）
（1）試在x軸上找點P使PM+PN最小，求出P點的坐標；
（2）若在坐標系中另有一直線AB，A（10，0），點B在y軸上，∠BAO=30°，⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，問圓在運動過程中與該直線相交的時間有多長？

Answer 1

分析：（1）作點N關于X軸的對稱點Q，連結M、Q交x軸于點P，則P就是使PM+PN最小的點，根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特點求出Q點的坐標，用待定系數(shù)法求出直線MQ的解析式，求出當y=0時x的值即可得出P點坐標；
（2）M（-1，2）在圓O上，所以根據(jù)勾股定理可求出⊙O的半徑，再根據(jù)OA=10，∠BAO=30°可得出原點O到直線AB的距離為5，當圓運動到圓心到直線AB的距離等于半徑時圓與直線AB相切，此時可求出圓心O可在點A左側或右側與A的距離，再由⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動即可得出結論．

解答：解：（1）如圖1所示，作點N關于x軸的對稱點Q，連結M、Q交x軸于點P，則P就是使PM+PN最小的點，
∵N（2，1），
∴Q（2，-1），
設直線MQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵M（-1，2），Q（2，-1），
∴

-k+b=2 2k+b-1

，
解得

k=1 b=1

，
∴直線MQ的解析式為：y=-x+1，
∵當y=0時，x=1，
∴P點坐標為（1，0）；

（2）∵M（-1，2）在圓O上，
∴圓O的半徑=

22+12

=

5

，
∵OA=10，∠BAO=30°，
∴原點O到直線AB的距離為5，
∴當圓運動到圓心到直線AB的距離OD=

5

時圓與直線AB相切當⊙O在直線AB的左側時，如圖2所示：
∵∠BAO=30°，
∴OA=2

5

，
同理，當⊙O在直線AB的左側時，圓心與點A的距離也等于2

5

，
∵⊙O以0.2個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，
∴相交時間=

2 5 +2 5

0.2

=20

5

（秒）．
答：圓在運動過程中與該直線相交的時間有20

5

秒．

點評：本題考查的是圓的綜合題，熟知圓與直線的位置關系及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識是解答此題的關鍵．