Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線(xiàn)BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)tan∠AEC= ，BC=8時(shí)，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線(xiàn)BD和⊙O相切，

∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ODB，

∵OD⊥BC，

∴∠DBC+∠ODB=90°，

∴∠DBC+∠ABC=90°，

∴∠DBO=90°，

∴直線(xiàn)BD和⊙O相切．

（2）解：∵OD⊥BC，BC=8，

∴FB=FC=4，

∵tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF= ，

∴ = ， = ，

∴DF= ，OF=3，

∴OD=OF+DF=3+ = ．

【解析】（1）由∠AEC=∠ODB、∠AEC=∠ABC知∠ABC=∠ODB，根據(jù)∠DBC+∠ODB=90°得∠DBC+∠ABC=90°，即可得證；（2）由OD⊥BC、BC=8知FB=FC=4，根據(jù)tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF= ，求得DF= ，OF=3，據(jù)此可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．