Question

（2012•南潯區(qū)二模）北京時(shí)間2011年3月11日13時(shí)46分，日本發(fā)生9.0級(jí)特大地震，某日資公司為籌集善款，對(duì)其日本原產(chǎn)品進(jìn)行大幅度銷售，有A型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品60件，分配給下屬甲、乙兩個(gè)商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完．兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤（元）如下表：

	A型利潤	B型利潤
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件，這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤為W（元），求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（2）若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來；
（3）為了促銷，公司決定僅對(duì)甲店A型產(chǎn)品讓利銷售，每件讓利a元，但讓利后A型產(chǎn)品的每件利潤仍高于甲店B型產(chǎn)品的每件利潤．甲店的B型產(chǎn)品以及乙店的A，B型產(chǎn)品的每件利潤不變，問該公司又如何設(shè)計(jì)分配方案，使總利潤達(dá)到最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所有產(chǎn)品數(shù)量及所給產(chǎn)品數(shù)量分別得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的數(shù)量，那么總利潤等于每件相應(yīng)商品的利潤×相應(yīng)件數(shù)之和；根據(jù)各個(gè)店面的商品的數(shù)量為非負(fù)數(shù)可得自變量的取值；
（2）讓（1）中的代數(shù)式≥17560，結(jié)合（1）中自變量的取值可得相應(yīng)的分配方案；
（3）根據(jù)讓利后A型產(chǎn)品的每件利潤仍高于甲店B型產(chǎn)品的每件利潤可得a的取值，結(jié)合（1）得到相應(yīng)的總利潤，根據(jù)a的不同取值得到利潤的函數(shù)應(yīng)得到的最大值的方案即可．

解答：解：依題意，甲店B型產(chǎn)品有（70-x）件，乙店A型有（40-x）件，B型有（x-10）件，則
（1）W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=20x+16800．
由

x≥0 70-x≥0 40-x≥0 x-10≥0

解得10≤x≤40．
（2）由W=20x+16800≥17560，∴x≥38．∴38≤x≤40，x=38，39，40．∴有三種不同的分配方案．
①x=38時(shí)，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件．
②x=39時(shí)，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件．
③x=40時(shí)，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．
（3）依題意：W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800．
①當(dāng)0＜a＜20時(shí)，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使總利潤達(dá)到最大．
②當(dāng)a=20時(shí)，10≤x≤40，符合題意的各種方案，使總利潤都一樣．
③當(dāng)20＜a＜30時(shí)，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使總利潤達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng)：考查一次函數(shù)的應(yīng)用；得到分配給甲乙兩店的不同型號(hào)的產(chǎn)品的數(shù)量是解決本題的突破點(diǎn)；得到總利潤的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)a的不同取值得到相應(yīng)的最大利潤是解決本題的難點(diǎn)．